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本期是不久前结束的，某地的中考模拟里的小题

存在一个非常巧妙，可心算的解答。

应树洞里 nil 的提问：majer什么时候会更新脑力小体操的下一期啊，想看5月30号的“反直觉的骰子”的正确解答，一个多月了……

时隔一个月的上一期的题目，是14或者是17年，麻省理工的数学家Elchanan Mossel在研讨会上提出的问题。是新千年里难得的妙题：形式简单，但结果出人意料，发人深省。

现有一个理想的经典6面骰子。

假设“凑巧”每次投掷的时候，出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。

问：投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)？

原始表述 Elchanan Mossel’s Amazing Dice Paradox

You throw a die until you get 1. What is the expected number of throws (including the throw giving 1) conditioned on the event that all throws gave odd numbers?

评论里wdw的解答十分精彩，实际上，当时在座的研究生给出的最佳解答本质上就是下面的：

代码跑出来大概是1.5. 可能大家一开始会想色子只能投出1,3,5.就相当于一个一个只有{1,3,5}的"三角形"色子,那么这就是一个几何分布,期望就是3.但可惜并不是. 这样考虑:1,2,4,6,这四个数字都会使得实验终止,不妨把他们看成一样的.那么实验终止就是几何分布,P(某次投色子,实验终止)=2/3,期望次数为3/2.而题目相当于在所有结果里扔掉均匀3/4,由于1,2,4,6是对等的,所以期望依然是3/2.

另外，当时下面有两条蠢不自知的评论也收获了数十个赞。但因为他们的思维bug比较微妙，详细解说就会显得啰嗦，不详细说，则等于没说。

当时我为了简化问题，直接给出了用计算机模拟上面投掷骰子的方式：

为了避免歧义，再解释一下怎么“凑巧”点数都是奇数。

就是在某轮实验里，在投出1之前，若投出了偶数，则本次实验无效，不计入统计。

最后在有效的实验场次里，计算平均等待时间/次数。

结果有评论嘲讽说：你觉得自己的表述很聪明？如果一开始就有上面这一段清晰无歧义的表述，又哪里反直觉了？

问题是，这一模拟过程本来应该是诸君自己从原始简短表达里自己推导出来的。我只是为了突出重点，直接把答案给了出来。然后把大家的注意力集中在理解为何是这个答案。否则，看英文原题，后面可没有任何解释哦。

一个简略但未失本质的类比是这样：

我说命题A是一个非常不好把握的命题，比如说，大家发现没有？A和命题B竟然是等价的！

如果有谁认为下面的表述是“歧义性”的文字游戏，那也就是说他认为，存在把模型理解成一个只有3个点的骰子。但后一模型是没有依据的。实际上，整个问题想要让大家思考的一点就是为何这个是没有道理的(以及正确的模拟方式为何是正确的)。所以根本就没有歧义和文字游戏。

假设“凑巧”每次投掷的时候，出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。

问：投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)？

再重复一遍：没有歧义性，用计算机模拟这一过程也就是清晰的。但这本来应该是解答者从上面的语句里自己想出。

再说明白点，原始问题的困难之处就是想明白 {假设“凑巧”每次投掷的时候，出现的全是奇数(点数∈{1、3、5})。问：投出1点的平均等待次数是多少(算上成功投出1的那一次)？}描述的可经数值实验的过程，其实是{某轮实验里，在投出1之前，若投出了偶数，则本次实验无效，不计入统计。最后在有效的实验场次里，计算平均等待时间/次数。}

我为了方便大家思考，直接把需要“想明白”的东西，写了出来，把注意力集中在更加思辨性的东西/活动——想——上。